Continuité pédagogique TS1 AMCR

Travail de la semaine : faire le DM10, disponible ici.

(Re)-faîtes le TP sur les produits de vecteurs.

J'ai séparé ce TP en deux fichiers, avec quelques améliorations :

• TP sur le produit scalaire ;
• TP sur le produit vectoriel.

La correction de l'exercice I sur le produit scalaire est à la fin du TP.

Remarque : libre à vous de créer plus d'exemples pour vous entraîner puisque vous avez Geogebra pour contrôler vos réponses.

Points importants :

- il faut savoir faire les calculs mais aussi les vérifier avec Geogebra ;

- le jour d'un CCF, je ne vous dirai pas, par exemple, "utilisez le produit vectoriel pour calculer l'aire du triangle ABC" mais "calculez l'aire du triangle ABC".

Du 6 au 8 avril

 

Revenons sur ce qui a été vu la semaine dernière.

D'abord une vidéo pour mieux comprendre. Remarque : ici, le professeur met son équation sous la forme \(y'=ay\), ce qui n'est pas nécessaire pour nous (dans notre cours, elle s'écrit \(ay'+by=0\)).

 

Entraînez-vous si possible :

• sur la résolution d'équation de la forme \(ay'+by=0\) avec cet exercice ;
• sur la résolution d'équation de la forme \(ay'+by=0\) avec condition initiale avec cet exercice.

 

DM9 sur les équations différentielles pour le 15 avril.

 

Du 8 avril au 10 avril

Nous avons vu comment trouver les solutions d'une équation de la forme \(ay'+by=0\).

Nous cherchons maintenant les solutions d'une équation de la forme \(E:\quad ay'+by=c(t)\).

Pour les trouver il faut :

• résoudre l'équation \((E_0):\quad ay'+by=0\) ; les solutions sont notées \(y_0\) (et donc
  \(y_0 = k \mathrm{e}^{(-b/a)t}\)) ;
  
• trouver une solution de \((E)\), qu'on appellera solution particulière, notée \(y_P\) ;
  
• les solutions de \((E)\), sont alors les fonctions de la forme \(y_0+y_P\).
  

 

Lisez le 2°)a) et b) du II du cours puis faîtes l'exercice V.

Enfin, lisez le 2°)c) du II du cours puis faîtes l'exercice VI et VIII.

Pour les plus forts, faîtes l'exercice VII également.

 

 

Cours et exercices

Du 30 mars au 1er avril

Lisez la partie cours de la page 1 (vous pouvez passer l'exemple 3 éventuellement).

 

Quelques remarques :

• on appelle souvent \((E)\) une équation différentielle ;
• \(f''\) désigne la dérivée seconde, c'est-à-dire la dérivée de la dérivée ;
• \(\dfrac{dy}{dt}\) et \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\) représentent, en notation physicienne,  \(f'\) et \(f''\) ;
• dans une équation différentielle, l'inconnue n'est pas un nombre mais une fonction, notée \(y\) ;
• pour savoir si une fonction est une solution, il suffit de remplacer \(y\) par cette fonction ; il y a un exemple dans le cours, en voilà un autre :

La fonction définie sur IR par \(f(x)=2x+5\) est-elle solution de l'équation différentielle \((E):y'-3y=x\) ?

Réponse : je remplace \(y\) par \(f(x)=2x+5\) et donc \(y'\) par \(f'(x)=2\), ce qui donne :

\(y'-3y=2-3(2x+5) = -6x -13 \neq x\) donc \(f\) n'est pas une solution de \((E)\).

 

Faîtes les exercices I et II

 

Du 1er au 3 avril

Lisez la partie cours de la page 2 qui précède l'exercice III.

 

Il y a, dans l'exercice III, deux choses à savoir faire :

• trouver toutes les solutions d'une certaine forme d'équation différentielle ;
• trouver la solution d'une équation différentielle vérifiant une condition.

 

Il y a un exemple dans le cours, en voici un autre :

Déterminez la solution \(f\) de \((E):y'-4y=0\) qui vérifie \(f(0)=-2\).

Réponse :

Etape 1 : je résous l'équation \((E):y'-4y=0\)

L'équation \((E):y'-4y=0\) est de la forme

\((E):ay'+by=0\) avec \(a=1\) et \(b=-4\) donc ses solutions sont les fonctions de la forme \(k.\mathrm{e}^{-(b/a)x}=k.\mathrm{e}^{4x}\), avec \(k\) réel quelconque.

 

Etape 2 : je trouve la solution de \((E)\) qui vérifie la condition \(f(0)=-2\)

 

Comme \(f\) doit être une solution de \((E)\), \(f(x)=k.\mathrm{e}^{4x}\)

de plus, \(f(0)=-2\) or \(f(0)=k.\mathrm{e}^{4\times0}=k.\mathrm{e}^{0}=k\times1=k\) donc \(k=-2\).

Conclusion : la fonction \(f\) a pour expression \(f(x)=-2.\mathrm{e}^{4x}\).

 

Faîtes les exercices III et IV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Faîtes les deux exercices sur les centres d'inertie.

DM8 pour mardi 31 mars.

Construction du barycentre de trois points

Finissez les constructions de barycentre (Exercice III, 1°)).

 

Construction du barycentre de trois points avec le barycentre partiel

Principe sur un exemple :

"Construire le barycentre G de (A,2), (B,3), (C,-2)

Réponse :

Je construis le barycentre H des deux points (A,2), (B,3) avec la propriété 2 du cours.

En considérant que H a récupéré les masses de A et de B (donc H a une masse de 2+3=5), il ne reste plus qu'à construire le barycentre de

(H,5), (C,-2) ; toujours avec la propriété 2 du cours."

Remarques :

• H est appelé barycentre partiel.
• Il suffit de savoir construire le barycentre de deux points pour savoir construire celui de 3 points.

 

Faîtes le 2°) de l'Exercice III.

 

Calcul des coordonnées d'un barycentre de trois points

C'est le même principe que pour deux points, en calculant la moyenne coefficientée (les masses sont les coefficients) des x, puis celle des y, puis celle des z.

 

Lisez l'exemple 4 du cours puis faîtes l'Exercice IV.