<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\begin{document}

\begin{center}
\textbf{CONCOURS ESGT 2007}

\textbf{EPREUVE DE MATHÃ‰MATIQUES}

% DurÃ©e : 3 heures -- Coefficient : 2
\end{center}

Les six exercices sont indÃ©pendants et devront Ãªtre traitÃ©s impÃ©rativement dans l'ordre indiquÃ© :


\bigskip

\exo
On considÃ¨re les fonctions numÃ©riques $f$ et $g$ dÃ©finies par :
\[f(t)=\dfrac{1}{t(1+t^2)} \qquad \mbox{et} \qquad g(t)=-\dfrac{1}{(1+t)t^2}.\]

1.1) DÃ©terminer une primitive de $f$ et de $g$.

1.2) Donner la valeur exacte du nombre $B$ suivant :
\[B=\int_{1}^{2}f(t)\,\mathrm{d}t.\]
\qquad InterprÃ©tation graphique de $B$ ?

\bigskip

\exo
On admet que la variable alÃ©atoire $X$ qui associe Ã&nbsp; tout composant de type A sa durÃ©e de vie, mesurÃ©e en heures, suit une loi normale de moyenne $m$ et d'Ã©cart-type $\sigma$.

2.1) DÃ©terminer $m$ et $\sigma$ sachant que :
\newline
$P(X&gt;1100)=0,9332$ et
\newline
$P(X\le 1600)=0,8413$.

2.2) On suppose dÃ©sormais que $m=1400$ et que $\sigma=200$.
\newline
\null\qquad Calculer la probabilitÃ© $u=P(X&gt;1200)$ et commenter le rÃ©sultat obtenu.

\bigskip

\exo
On considÃ¨re la fonction numÃ©rique de la variable rÃ©elle $x$ dÃ©finie par :
\newline
$H(x)=\exp(x)/\sqrt{1+x}$.
\newline
Soit $(C)$ sa courbe reprÃ©sentative dans le plan muni d'un repÃ¨re orthonormal \Oij.

3.1) \'Etudier les variations de $H$.

3.2) Donner l'Ã©quation de la tangente $(T)$ Ã&nbsp; $(C)$ au point d'abscisse 0.

3.3) Tracer $(C)$ et $(T)$.

3.4) Formuler le dÃ©veloppement limitÃ© d'ordre 2 de la fonction $H$ en 0.


\bigskip

\exo
RÃ©soudre l'Ã©quation trigonomÃ©trique suivante :
\[\cos x+\dfrac{3}{4}\sin x-\dfrac{5}{4}=0.\]

\newpage

\exo
Soit le nombre complexe : $j=\dfrac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ ($\mathrm{i}$ tel que $\mathrm{i}^2=-1$)
\newline
et les quatre nombres complexes :
\newline
$a=-j^2$
\newline
$b=2j$
\newline
$c=-2j$
\newline
$d=4/j$.
\newline
Dans le plan complexe, on considÃ¨re les 4 points $A$, $B$, $C$, $D$ d'affixes respectives $a$,~$b$,~$c$,~$d$.

5.1) Calculer $Z=\dfrac{\strut a-b}{\strut a-c}\ /\ \dfrac{d-b}{d-c}$.

5.2) Quelle est la propriÃ©tÃ© vÃ©rifiÃ©e par les 4 points $A$, $B$, $C$ et $D$ ?


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\exo
Dans un espace affine $E_3$ rapportÃ© Ã&nbsp; un repÃ¨re orthonormÃ©, soit les deux plans $P$ et $P'$ dÃ©finis par leurs Ã©quations cartÃ©siennes suivantes :
\newline
$P$ : \quad $x-2z=0$
\newline
$P'$ : \quad $2x-5y+z-15=0$.

6.1) Les plans sont-ils perpendiculaires ?

6.2) Calculer la distance du point $E\coordsph{7}{2\sqrt{6}}{1}$ Ã&nbsp; la droite $D=P\cap P'$.

6.3) DÃ©terminer l'Ã©quation de la sphÃ¨re $S$ de centre $E$ et tangente Ã&nbsp; $D$.


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