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Quelques affaires élucidées.

 

Je ne présente ici que des énoncés compréhensibles par tous, vous trouverez en bas de cette page des liens vers d'autres sites qui présentent également d'autres énoncés parfois plus compliqués mais aussi plus importants pour les mathématiques (comme l'ex-conjecture de Poincaré).

 

• La quadrature du cercle (-? - 1882)
• Le dernier théorème de Fermat-Wiles (1637 - 1995)
• La conjecture d'Euler (1772- 1966)
• Le théorème de Catalan-Mihăilescu (1844 - 2002)
• Conjecture de Képler (1611 - 1998)
• Newton ou Gregory ? (1690 - 1953)
• Le théorème des quatre couleurs (1852 - 1976)
• D'autres conjectures

 

La quadrature du cercle

 

On commence par le problème qui a résisté le plus longtemps aux mathématiciens (plus de 3000 ans !), celui de la quadrature du cercle.

 

A l'origine des mathématiques, il y a la géométrie (particulièrement développée par les savants grecs de l'antiquité) et, pour représenter les figures géométriques, les géomètres disposaient essentiellement de deux outils bien connus des élèves : la règle et le compas.

 

Une des questions qui s'est posée (pendant l'antiquité égyptienne, voire avant) est celle de la quadrature du cercle :

 

Peut-on, en utilisant uniquement une règle et un compas, construire un carré de même aire qu'un disque donné ?

 

De nombreuses constructions ont été proposées pendant environ 3000 ans mais aucune n'était juste, à telle point que l'Académie des sciences de Paris a officiellement refusé d'examiner toute nouvelle "preuve" à partir de 1775.

 

On démontre assez facilement que réaliser la quadrature du cercle cela revient à construire un segment de longueur \(\sqrt{\pi}\).

Or, en 1837, P. L. Wantzel a démontré que les nombres constructibles sont solutions d'un certain type d'équation puis, en 1882, F. Lindemann a prouvé que \(\pi\) (et \(\sqrt{\pi}\)) n'est pas solution de ce genre d'équation : on dit que \(\pi\) est transcendant.

Conclusion : la quadrature du cercle est impossible !

 

Remarques :

• la quadrature du cercle a été repris dans le langage courant pour signifier un problème très difficile voire impossible ;
• d'autres problèmes antiques : celui de la trisection de l'angle et celui de la duplication du cube, tous deux impossibles d'après le résultat de Wantzel ;
• on peut très facilement construire un triangle équilatéral ou un carré avec une règle et un compas mais une question se pose : peut-on construire n'importe quel polygone régulier (dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles de même mesure) ? la réponse est non : le théorème de Gauss-Wantzel montre que seuls certains d'entre eux le peuvent : il faut que le nombre \(n\) de côtés s'écrive \(n=2^k p_1 p_2 p_3 \dots\) où \(k\) est un entier positif et \(p_1\), \(p_2\), etc. sont des nombres premiers de Fermat (on ne connaît que 5 nombres premiers de Fermat : 3, 5, 17, 257 et 65 537) ; ainsi l'heptagone (7 côtés) régulier n'est pas constructible ;
• le théorème de Mohr-Mascheroni (prouvé par Mohr en premier en 1672) établit que toute figure constructible à la règle et au compas l'est aussi avec juste un compas !

 

 

Le dernier théorème de Fermat-Wiles

Un triangle de dimensions 3 ; 4 et 5 est rectangle en vertu de l'égalité de Pythagore :\[3^2+4^2=5^2\]

(crédits : Simon Singh)

Il existe une infinité de triangles rectangles dont les côtés sont des entiers donc de triplets d'entiers \(a;b;c\) tels que \[a^2+b^2=c^2\] (ce sont des triplets pythagoriciens).
On peut aussi dire qu'il est possible d'assembler deux carrés (de côtés entiers) pour en faire un seul carré (de côté entier) :

(crédits : Simon Singh)

Est-il possible, dans le même ordre d'idées, de composer un cube à partir de deux cubes existants (tous de côtés entiers).
Sur cette figure, on y arrive presque :

(crédits : Simon Singh)

Pierre de Fermat, un des plus grands mathématiciens français a constaté qu'il ne trouvait pas de solution, c'est-à-dire de triplets d'entiers \((a;b;c)\) tels que \(a^3+b^3=c^3\) ou \(a^4+b^4=c^4\), etc. Il a donc énoncé sa fameuse conjecture :
"L'équation \(a^n+b^n=c^n\) n'a pas de solutions entières si \(n\) est un entier supérieur à 2."
déclarant qu'il avait trouvé une démonstration.
Il a fallu environ 350 ans pour qu'Andrew Wiles (aidé de son étudiant Richard Taylor) parvienne à démontrer cette conjecture !

 

La conjecture d'Euler

Euler énonce cette conjecture, qui généralise celle de Fermat, en 1772 :
"Pour tout entier n strictement supérieur à 2, une puissance n-ième ne peut pas s'écrire comme somme de n – 1 puissances n-ièmes."
Cela signifie, par exemple, qu'il n'existe pas de nombres entiers \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) tels que : \[a^4+b^4+c^4=d^4\] ou qu'il n'existe pas de nombres entiers \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(e\) tels que : \[a^5+b^5+c^5+d^5=e^5\] Or, à force de faire des essais, on a fini, après deux siècles, par trouver un contre-exemple à cette affirmation : \[27^5+84^5+110^5+133^5=144^5\] Le plus petit (!) contre-exemple pour des puissances 4 est maintenant connu : \[95800^4+217519^4+414560^4=422481^4\] On comprend mieux qu'on ait pu croire juste la conjecture d'Euler avant l'apparition des ordinateurs !
On ne connaît d'ailleurs toujours pas de contre-exemple pour des puissances supérieures à 5 !

 

 

Le théorème de Catalan-Mihailescu

Observons les puissances (entières) des entiers strictement positifs :

• les carrés : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 etc.
• les cubes : 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; etc.
• les puissances quatre : 1 ; 16 ; 81 ; 256 ; etc.
• etc.

On constate que parmi les résultats, il y a deux entiers consécutifs, à savoir 8 et 9.

Existe-t-il d'autres entiers strictement positifs consécutifs qui sont aussi des puissances d'entiers strictement positifs ?

 

Cette question, posée en 1844 par E. C. Catalan a été résolue en 2002 par P. Mihailescu : 8 et 9 sont les seuls entiers consécutifs qui peuvent s'écrire comme des puissances d'entiers.

Notez que la résolution de ce problème, bien que purement arithmétique, a nécessité l'utilisation d'outils de la théorie des ensembles, comme c'est souvent le cas.

 

Remarque : la conjecture de Pillai, qui généralise cette question n'a pas encore été prouvée.

 

 

Le théorème de Kepler-Hales

Comment empiler des sphères de façon à en mettre le plus possible dans un volume donné ?

Képler a conjecturé en 1611 que l'empilement optimal est celui que l'on trouve sur les étals des marchés, et qui donne une densité d'environ 74 % (plus précisement \(\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\)).
Cette conjecture, d'apparence élémentaire, n'a été confirmée définitivement qu'en 1998 par Thomas Hales. Ce dernier a d'abord utilisé un ordinateur pour vérifier les nombreux cas à examiner dans la démonstration puis a modifié celle-ci afin que ses différentes étapes puissent être vérifiées par informatique (travail achevé en 2014).
Pour en savoir plus sur cette conjecture de Kepler, l'excellent site de Gérard Villemin.

 

 

Newton ou Gregory ?

Combien de sphères identiques peut-on disposer autour d'une sphère centrale de même taille ?

(source : mathworld)

Lors d'une discussion datant de 1694, Newton suggéra qu'il y en a 12 au maximum tandis que son collègue Gregory pensait que, du fait qu'il restait de l'espace vide, on pouvait en disposer 13.
La réponse est venue plus de 250 ans plus tard (en 1953) avec une preuve de Schütte et Van der Waerden et c'est Newton qui avait raison.

 

 

Le théorème des quatre couleurs

 

D'autres problèmes de coloriage ont été résolus récemment : le problème de Hadwiger-Nelson et la conjecture de Steinberg.

 

 

 

D'autres conjectures (liens)

Conjectures célèbres ;

Liste de conjectures, résolues ou non