Continuité pédagogique TS1 MGTMN

Plans et droites de l'espace

Cours

et

fiche d'exercices

Première heure de cours : mardi de 10 h à 11 h 30 environ

Diaporama de cours 3 : intersection droites et plans, projections orthogonales sur un plan

Exercices VI et VIII de la fiche d'exercices.

Seconde heure de cours : vendredi de 11 h à 12 h environ

Séance de questions/réponses avant l'examen.

Diaporama des exercices de la semaine (avec corrections)

Plans et droites de l'espace

Cours

et

fiche d'exercices

Diaporama des exercices de la semaine (avec corrections)

Première heure de cours : mardi de 10 h à 11 h 30 environ

Diaporama de cours 1 : les plans

• rapide exemple de calcul de l'aire d'un triangle + vérification avec Geogebra ;
• équation d'un plan et vecteur normal : cours III, 1°) et 2°). Exercices I et II de cette fiche d'exercices.
• plan passant par trois points connus, utilisation du produit vectoriel : cours III, 3°) exemple 12. Exercice III de la fiche d'exercices.
• Exercice d'entraînement en ligne.

Seconde heure de cours : mercredi de 10 h à 11 h environ

Diaporama de cours 2 : les droites

• représentation paramétrique d'une droite définie par un point et un vecteur : exercice en ligne à faire plusieurs fois ;
• cas d'une droite passant par deux points ; exercice IV de la fiche d'exercices.
• cas d'une droite orthogonale à un plan ; exercice V de la fiche d'exercices.

Produit vectoriel

Cours

Nous continuons l'exploration des points essentiels du programme (dans l'optique du CCF) avec le produit vectoriel.

Attention : il faut qu'il soit clair dans vos esprits qu'il a là deux outils mathématiques distincts :

• le produit scalaire de deux vecteurs, qui est un nombre, et qui sert surtout à calculer des angles ou certaines équations de droites ; il se note avec un .
• le produit vectoriel de deux vecteurs, qui est un vecteur et qui nous servira surtout à calculer des aires de triangles (des "surfaces") et des équations de plans ; il se note avec un ^.

Ainsi, connaissant deux vecteurs de l'espace \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), nous pouvons définir un troisième vecteur \(\vec{u}\) \(\wedge\) \(\vec{v}\) de différentes façons. Comme nous n'avons pas beaucoup de temps, voyons uniquement la méthode avec les coordoonnées.

Comment calculer les coordonnées d'un produit vectoriel, connaissant celles des vecteurs de départ :

• regardez cette première vidéo, où l'auteur montre calculer le produit vectoriel à partir des coordonnées des vecteurs (vous pouvez passer les vérifications des calculs : de 5'40 à 7'50 et de 9'29 à la fin) ;
• vous trouverez un exemple dans l'exemple 3 du cours ;
• c'est à vous maintenant : faîtes l'exercice 4A.2 de cette fiche d'exercices ;
• gardez bien les résultats et vérifiez-les quand vous aurez vu comment utiliser Geogebra.

Comment calculer les coordonnées d'un produit vectoriel, connaissant celles des points définissant les vecteurs de départ :

• je calcule d'abord les coordonnées des vecteurs, avec la formule \(\overrightarrow{AB}\) (\(x_B-x_A\) ; \(y_B-y_A\) ; \(z_B-z_A\)) ;
• maintenant que je connais les coordonnées des vecteurs (vérifiées avec Geogebra), j'applique la technique vue précédemment pour calculer leur produit vectoriel ;
• regardez cette vidéo pour un exemple de calcul.

C'est à vous maintenant : faîtes les questions c), d) et e) de l'exercice 4A.1 de cette fiche d'exercices.

Utilisation de Geogebra

Faîtes l'exercice 1 de ce TP.

Une première application du produit vectoriel : calcul de l'aire d'un triangle quelconque connaissant les coordonnées des sommets.

Pour calculer l'aire d'un triangle ABC quelconque, sans avoir à connaître une hauteur ou un angle, je peux :

• calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) (par exemple) ;
• calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{n}\) = \(\overrightarrow{AB}\) \(\wedge\) \(\overrightarrow{AC}\) ;
• calculer la norme du vecteur \(\vec{n}\) en utilisant la formule \(\lVert\vec{n}\rVert\) = \(\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}\) ;
• diviser par 2 le résultat : cela donne l'aire exacte du triangle ABC ;
• vous pouvez regarder l'exemple 4 du cours.

Faîtes l'exercice 2 du TP.

Indications :

• quand il s'agit de triangles dans l'espace :
• choisir l'affichage Graphique 3D ;
• vous pouvez créer les points en tapant leurs coordonnées dans la barre de Saisie, par exemple A = (-1,2,3)
• utilisez ensuite l'outil polygone pour obtenir l'aire d'un triangle
• dans le calcul dans le cas de points du plan, il suffit de mettre 0 comme troisième coordonnée.

Vous pourrez vous entraîner autant que vous le souhaitez avec les deux exercices ci-dessous (à savoir faire à la main et avec Geogebra) :

Vous avez fini le travail sur le produit vectoriel ? Profitez alors du temps restant pour réviser pour le CCF.